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Problema 4 de la XXV OMM

ommyucatan — Wed, 16 Nov 2011 01:42:12 +0000

Encuentra el menor entero positivo tal que al escribirlo en notación decimal utiliza exactamente dos dígitos distintos y que es divisible entre cada uno de los números del 1 al 9.
Nota: Un ejemplo de un número que al escribirlo en notación decimal utiliza exactamente dos dígitos distintos es el 2202022002.

Problema 5 de la XXV OMM

ommyucatan — Wed, 16 Nov 2011 01:40:10 +0000

Una cuadrícula con lados de longitudes y se quiere dividir en rectángulos ajenos con lados sobre líneas de la cuadrícula y con un número de cuadritos de dentro del rectángulo igual a una potencia de 2.
Encuentra la menor cantidad de rectángulos en los que se puede dividir la cuadrícula.
Nota: El 1 es considerado una potencia de 2 pues .

Problema 6 de la XXV OMM

ommyucatan — Wed, 16 Nov 2011 01:36:32 +0000

Sean y dos circunferencias de radios diferentes que se cortan en los puntos A y B. Consideremos un punto C sobre la recta AB de modo que B queda entre A y C. Sean P y Q puntos sobre y , respectivamente, tales que CP es tangente a , CQ es tangente a , P no ésta dentro de y Q no está dentro de . La recta PQ corta de nuevo a en R y a en S, ambos puntos distintos de B. Supongamos que CR corta de nuevo a en X y CS corta de nuevo a en Y. Sea Z un punto sobre la recta XY. Muestra que SZ es paralela a QX si y sólo si PZ es paralela a RX.

Problema 1 de la XXV OMM

ommyucatan — Mon, 14 Nov 2011 17:52:14 +0000

Se tienen 25 focos distribuidos de la siguiente manera: los primeros 24 se disponen en una circunferencia colocando un foco en cada uno de los vértices de un 24-ágono regular, y el foco restante se coloca en el centro de dicha circunferencia.
Únicamente se permite aplicar cualquiera de las siguientes operaciones:

Tomar dos vértices sobre la circunferencia tales que hay una cantidad impar de vértices en los arcos que definen, y cambiar el estado de los focos de estos dos vértices y el del foco del centro de la circunferencia.
Tomar tres vértices sobre la circunferencia que formen un triángulo equilátero, y cambiar el estado de los focos en estos tres vértices y el del foco del centro de la circunferencia.

Muestra que partiendo de cualquier configuración inicial de focos encendidos y apagados, siempre es posible aplicar un número finito de operaciones para llegar a la configuración en la que todos los focos están encendidos.

Problema 2 de la XXV OMM

ommyucatan — Mon, 14 Nov 2011 17:51:45 +0000

Sea ABC un triángulo acútangulo con sus vértices sobre la circunferencia C. Sea la recta tangente a C en el punto A. La circunferencia con centro B y radio BA intersecta la recta en D y a la recta AC en E. Muestra que la recta DE pasa por el ortocentro del triágulo ABC.
Nota: El ortocentro de un triángulo es el punto donde concurren las tres alturas del triángulo.

Problema 3 de la XXV OMM

ommyucatan — Mon, 14 Nov 2011 17:51:18 +0000

Sea un entero positivo. Encuentra todas las soluciones de números reales que satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones:

Problema 7.

ommyucatan — Mon, 31 Oct 2011 20:38:11 +0000

Considere el siguiente tablero

0 1 2 3 … 9
9 0 1 2 … 8
8 9 0 1 … 7

1 2 3 4 … 0

Si tomamos 10 números cualesquiera de tal forma que no haya dos en la misma fila, ni dos en la misma columna, demuestre que entre ellos siempre hay al menos dos números iguales.

Problema 6.

ommyucatan — Mon, 31 Oct 2011 03:55:14 +0000

Sean dos enteros positivos con b' title='a>b' class='latex' />. Si sabemos que y . Probar que no es un cuadrado perfecto.

Problema 5

ommyucatan — Sat, 22 Oct 2011 01:50:50 +0000

Sea ABC un triángulo acutángulo, H su ortocentro, D la intersección de HB con AC , E la intersección de con y sea F el segundo punto de intersección de la circunferencia circunscrita de y de la circunferencia circunscrita de , demuestra que la bisectriz del y la bisectriz del concurren en

Problema 4.

ommyucatan — Wed, 19 Oct 2011 15:37:12 +0000

Sea un polinomio con coeficientes positivos. Probar que si

se cumple para , entonces se cumple para cualquier 0' title='x>0' class='latex' />.