Sean y dos circunferencias de radios diferentes que se cortan en los puntos A y B. Consideremos un punto C sobre la recta AB de modo que B queda entre A y C. Sean P y Q puntos sobre y , respectivamente, tales que CP es tangente a , CQ es tangente a , P no ésta dentro de y Q no está dentro de . La recta PQ corta de nuevo a en R y a en S, ambos puntos distintos de B. Supongamos que CR corta de nuevo a en X y CS corta de nuevo a en Y. Sea Z un punto sobre la recta XY. Muestra que SZ es paralela a QX si y sólo si PZ es paralela a RX.
Trazamos además de los trazos de la hipótesis
Usando potencia del punto, vemos que el punto está sobre el eje radical de , entonces , entonces el es isósceles; sea , entonces, como ,todos son , por ser ángulos seminscritos e inscritos en el arco respectivamente, entonces son cíclicos por tener y respectivamente, pero como 3 puntos definen a una sola circunferencia, entonces es cíclico, por lo que y , todos iguales a .
Sea (todos por causa del pentágono cíclico )
-Ahora, supongamos que : entonces vemos que , por cortar SZ a la misma recta que QX y ser ambas paralelas, entonces es cíclico por tener que , entonces, como , entonces
-Ahora supongamos que : veamos entonces que por potencia del punto, por ser parte del eje radical de , entonces el cuadrilátero es cíclico; como , entonces llamemos , y ya que sabemos que es cíclico, y suman , pero sumado a da , por lo tanto , entonces es cíclico, y entonces <PZS= SZ||QX$ entonces , que era lo que queríamos demostrar.
Otra forma de ver que PXYQC es ciclico: Consideremos la inversión con centro C y radio CQ, entonces, los inversos de P,R,S,Q son respectivamente P,X,Y,Q y como PRSQ es una recta, entonces PXYQ es una circunferencia que pasa por C.
Otra forma de concluir(sabiendo PXYQ y XYRS ciclicos): Sea W el punto de intersección de XY con PQ, entonces por potencia WP * WQ = WX*WY = WR*WS, de donde
WP/WR = WS/WQ, entonces WP/WR=WZ/WX, si y solo si WS/WQ=WZ/WX, concluyendo por tales que SZ || QX, si y solo si, PZ||RX
Trazamos además de los trazos de la hipótesis
está sobre el eje radical de 
, entonces 
, entonces el 
es isósceles; sea 
, entonces, como 
,todos son 
, por ser ángulos seminscritos e inscritos en el arco 
respectivamente, entonces 
son cíclicos por tener 
y 
respectivamente, pero como 3 puntos definen a una sola circunferencia, entonces 
es cíclico, por lo que 
y 
, todos iguales a 
.
(todos por causa del pentágono cíclico 
)
: entonces vemos que 
, por cortar SZ a la misma recta que QX y ser ambas paralelas, entonces 
es cíclico por tener que 
, entonces, como 
, entonces 
: veamos entonces que por potencia del punto, 
por ser 
parte del eje radical de 
, entonces el cuadrilátero 
es cíclico; como 
, entonces llamemos 
, y ya que sabemos que 
es cíclico, 
y 
suman 
, pero 
sumado a 
da 
, por lo tanto 
, entonces 
es cíclico, y entonces <PZS= SZ||QX$ entonces 
, que era lo que queríamos demostrar.
Usando potencia del punto, vemos que el punto
Sea
-Ahora, supongamos que
-Ahora supongamos que
Otra forma de ver que PXYQC es ciclico: Consideremos la inversión con centro C y radio CQ, entonces, los inversos de P,R,S,Q son respectivamente P,X,Y,Q y como PRSQ es una recta, entonces PXYQ es una circunferencia que pasa por C.
Otra forma de concluir(sabiendo PXYQ y XYRS ciclicos): Sea W el punto de intersección de XY con PQ, entonces por potencia WP * WQ = WX*WY = WR*WS, de donde
WP/WR = WS/WQ, entonces WP/WR=WZ/WX, si y solo si WS/WQ=WZ/WX, concluyendo por tales que SZ || QX, si y solo si, PZ||RX
Intenté utilizar inversión en el examen, pero no pude invertir PQ…