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Problema 4 de la XXV OMM 15 noviembre 2011

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Encuentra el menor entero positivo tal que al escribirlo en notación decimal utiliza exactamente dos dígitos distintos y que es divisible entre cada uno de los números del 1 al 9.
Nota: Un ejemplo de un número que al escribirlo en notación decimal utiliza exactamente dos dígitos distintos es el 2202022002.

Problema 5 de la XXV OMM 15 noviembre 2011

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Una cuadrícula con lados de longitudes (2^n-1) y (2^n+1) se quiere dividir en rectángulos ajenos con lados sobre líneas de la cuadrícula y con un número de cuadritos de 1 \times 1 dentro del rectángulo igual a una potencia de 2.
Encuentra la menor cantidad de rectángulos en los que se puede dividir la cuadrícula.
Nota: El 1 es considerado una potencia de 2 pues 2^0=1.

Problema 6 de la XXV OMM 15 noviembre 2011

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Sean C_1 y C_2 dos circunferencias de radios diferentes que se cortan en los puntos A y B. Consideremos un punto C sobre la recta AB de modo que B queda entre A y C. Sean P y Q puntos sobre C_1 y C_2, respectivamente, tales que CP es tangente a C_1, CQ es tangente a C_2, P no ésta dentro de C_2 y Q no está dentro de C_1. La recta PQ corta de nuevo a C_1 en R y a C_2 en S, ambos puntos distintos de B. Supongamos que CR corta de nuevo a C_1 en X y CS corta de nuevo a C_2 en Y. Sea Z un punto sobre la recta XY. Muestra que SZ es paralela a QX si y sólo si PZ es paralela a RX.

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