2011 noviembre 14 « ommyucatan

Problema 1 de la XXV OMM 14 noviembre 2011

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Se tienen 25 focos distribuidos de la siguiente manera: los primeros 24 se disponen en una circunferencia colocando un foco en cada uno de los vértices de un 24-ágono regular, y el foco restante se coloca en el centro de dicha circunferencia.
Únicamente se permite aplicar cualquiera de las siguientes operaciones:

Tomar dos vértices sobre la circunferencia tales que hay una cantidad impar de vértices en los arcos que definen, y cambiar el estado de los focos de estos dos vértices y el del foco del centro de la circunferencia.
Tomar tres vértices sobre la circunferencia que formen un triángulo equilátero, y cambiar el estado de los focos en estos tres vértices y el del foco del centro de la circunferencia.

Muestra que partiendo de cualquier configuración inicial de focos encendidos y apagados, siempre es posible aplicar un número finito de operaciones para llegar a la configuración en la que todos los focos están encendidos.

Problema 2 de la XXV OMM 14 noviembre 2011

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Sea ABC un triángulo acútangulo con sus vértices sobre la circunferencia C. Sea $l$ la recta tangente a C en el punto A. La circunferencia con centro B y radio BA intersecta la recta $l$ en D y a la recta AC en E. Muestra que la recta DE pasa por el ortocentro del triágulo ABC.
Nota: El ortocentro de un triángulo es el punto donde concurren las tres alturas del triángulo.

Problema 3 de la XXV OMM 14 noviembre 2011

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Sea $n\geq 3$ un entero positivo. Encuentra todas las soluciones $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ de números reales que satisfacen el siguiente sistema de $n$ ecuaciones: