2011 noviembre « ommyucatan

Problema 4 de la XXV OMM 15 noviembre 2011

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Encuentra el menor entero positivo tal que al escribirlo en notación decimal utiliza exactamente dos dígitos distintos y que es divisible entre cada uno de los números del 1 al 9.
Nota: Un ejemplo de un número que al escribirlo en notación decimal utiliza exactamente dos dígitos distintos es el 2202022002.

Problema 5 de la XXV OMM 15 noviembre 2011

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Una cuadrícula con lados de longitudes $(2^n-1)$ y $(2^n+1)$ se quiere dividir en rectángulos ajenos con lados sobre líneas de la cuadrícula y con un número de cuadritos de $1 \times 1$ dentro del rectángulo igual a una potencia de 2.
Encuentra la menor cantidad de rectángulos en los que se puede dividir la cuadrícula.
Nota: El 1 es considerado una potencia de 2 pues $2^0=1$ .

Problema 6 de la XXV OMM 15 noviembre 2011

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Sean $C_1$ y $C_2$ dos circunferencias de radios diferentes que se cortan en los puntos A y B. Consideremos un punto C sobre la recta AB de modo que B queda entre A y C. Sean P y Q puntos sobre $C_1$ y $C_2$ , respectivamente, tales que CP es tangente a $C_1$ , CQ es tangente a $C_2$ , P no ésta dentro de $C_2$ y Q no está dentro de $C_1$ . La recta PQ corta de nuevo a $C_1$ en R y a $C_2$ en S, ambos puntos distintos de B. Supongamos que CR corta de nuevo a $C_1$ en X y CS corta de nuevo a $C_2$ en Y. Sea Z un punto sobre la recta XY. Muestra que SZ es paralela a QX si y sólo si PZ es paralela a RX.

Problema 1 de la XXV OMM 14 noviembre 2011

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Se tienen 25 focos distribuidos de la siguiente manera: los primeros 24 se disponen en una circunferencia colocando un foco en cada uno de los vértices de un 24-ágono regular, y el foco restante se coloca en el centro de dicha circunferencia.
Únicamente se permite aplicar cualquiera de las siguientes operaciones:

Tomar dos vértices sobre la circunferencia tales que hay una cantidad impar de vértices en los arcos que definen, y cambiar el estado de los focos de estos dos vértices y el del foco del centro de la circunferencia.
Tomar tres vértices sobre la circunferencia que formen un triángulo equilátero, y cambiar el estado de los focos en estos tres vértices y el del foco del centro de la circunferencia.

Muestra que partiendo de cualquier configuración inicial de focos encendidos y apagados, siempre es posible aplicar un número finito de operaciones para llegar a la configuración en la que todos los focos están encendidos.

Problema 2 de la XXV OMM 14 noviembre 2011

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Sea ABC un triángulo acútangulo con sus vértices sobre la circunferencia C. Sea $l$ la recta tangente a C en el punto A. La circunferencia con centro B y radio BA intersecta la recta $l$ en D y a la recta AC en E. Muestra que la recta DE pasa por el ortocentro del triágulo ABC.
Nota: El ortocentro de un triángulo es el punto donde concurren las tres alturas del triángulo.

Problema 3 de la XXV OMM 14 noviembre 2011

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Sea $n\geq 3$ un entero positivo. Encuentra todas las soluciones $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ de números reales que satisfacen el siguiente sistema de $n$ ecuaciones: