Día Dos

Problema 4. Sean m y n dos cuadrados perfectos de cuatro dígitos cada uno con la siguiente propiedad: cada uno de los dígitos de n se obtiene al sumar una cantidad fija k (entero positivo) al respectivo dígito de m. Hallar todas las posibles parejas (m,n) con esta propiedad.

Problema 5. Sea ABC un triángulo y D,E,F los puntos donde tocan BC, CA y AB a la circunferencia inscrita al triángulo ABC, respectivamente. Sean Q el segundo punto de intersección de AD con la circunferencia inscrita al triángulo ABC y M el punto de intersección de EQ con AB. Demostrar que AM=MF, si y solo si, BC=AC.

Problema 6. Colocamos 2n bolas blancas y 2n bolas negras en fila. Sin  importar como se coloquen, demostrar que siempre es posible encontrar 2n bolas consecutivas de manera que exactamente n sean blancas y n sean negras.

Día Uno

Problema 1. Sean ,  y  enteros positivos tales que . Demuestra que  si y solo si .

Problema 2. Sean ABC un triángulo, O su circuncentro y BD la bisectriz del ángulo ABC. Demuestra que BO, la mediatriz de BD y la perpendicular a AC por D concurren.

Problema 3. Sea . A cada subconjunto B de A se le asocia su suma alternada definida a continuación: si con entonces . (Por ejemplo, si n=10 y entonces ). Si es un número fijo, clacula la suma de todas las .

Problema 1. Sea ABC un triángulo rectángulo con ángulo recto en C. Sobre los lados BC y AC, se construyen los cuadrados BCDE y AFGC (con sus vértices en sentido contrario de las manecillas del reloj) respectivamente. Denotemos por H la intersección de AE con BC y por K la intersección de BF y AC. Encontrar el valor del ángulo CKH.

Problema 2. Demuestra que la fracción es irreducible para todo número natural n.

Problema 3. En una carrera participan ocho competidores. ¿De cuántas maneras es posible premiar a los ganadores de los dos primeros lugares si se permiten empates?

Problema 4. Sea n un entero positivo en cuya notacion decimal sólo aparece el dígito 3. Suponga que n es múltiplo de 383. ¿Cuál es el residuo de dividir entre 1000?

Problema 5. Hallar todas las ternas de números primos positivos (p, q, r) tales que sea un cuadrado perfecto.

Problema 6. Sean ABCD un trapecio (con sus vértices ordenados en el sentido de las manecillas del reloj) inscrito en una circunferencia con AB paralelo a CD. Sean P y Q puntos distintos sobre el arco CD que no pasa por A con D más cercano a P que a Q. Sean K el punto de intersección de BP con DQ y L el punto de intersección de AQ con CP. Demuestra que KL es paralela a AB.

Aqui si se puede escribir en Latex para hacerlo lo unico que tienen que hacer es poner:  $ codigo$ es importante dejar un espacio entre latex y el codigo que queremos poner, un manual muy bueno para empezar a usar latex aqui es el siguiente http://onemperu.wordpress.com/2008/01/08/como-escribir-las-formulas-matematicas-latex/

Espero y les sea util para poder participar en este blog.

Sea bienvenido al blog de la Olimpiada de Matemáticas en Yucatán, mi nombre es Juan Antonio Ríos Briceño y en este blog colocaremos avisos, noticias,materiales de la olimpiada y una que otra curiosidad, espero que sea de su agrado…