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Problema 4 de la XXV OMM 15 noviembre 2011

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Encuentra el menor entero positivo tal que al escribirlo en notación decimal utiliza exactamente dos dígitos distintos y que es divisible entre cada uno de los números del 1 al 9.
Nota: Un ejemplo de un número que al escribirlo en notación decimal utiliza exactamente dos dígitos distintos es el 2202022002.

Problema 5 de la XXV OMM 15 noviembre 2011

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Una cuadrícula con lados de longitudes $(2^n-1)$ y $(2^n+1)$ se quiere dividir en rectángulos ajenos con lados sobre líneas de la cuadrícula y con un número de cuadritos de $1 \times 1$ dentro del rectángulo igual a una potencia de 2.
Encuentra la menor cantidad de rectángulos en los que se puede dividir la cuadrícula.
Nota: El 1 es considerado una potencia de 2 pues $2^0=1$ .

Problema 6 de la XXV OMM 15 noviembre 2011

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Sean $C_1$ y $C_2$ dos circunferencias de radios diferentes que se cortan en los puntos A y B. Consideremos un punto C sobre la recta AB de modo que B queda entre A y C. Sean P y Q puntos sobre $C_1$ y $C_2$ , respectivamente, tales que CP es tangente a $C_1$ , CQ es tangente a $C_2$ , P no ésta dentro de $C_2$ y Q no está dentro de $C_1$ . La recta PQ corta de nuevo a $C_1$ en R y a $C_2$ en S, ambos puntos distintos de B. Supongamos que CR corta de nuevo a $C_1$ en X y CS corta de nuevo a $C_2$ en Y. Sea Z un punto sobre la recta XY. Muestra que SZ es paralela a QX si y sólo si PZ es paralela a RX.

Problema 1 de la XXV OMM 14 noviembre 2011

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Se tienen 25 focos distribuidos de la siguiente manera: los primeros 24 se disponen en una circunferencia colocando un foco en cada uno de los vértices de un 24-ágono regular, y el foco restante se coloca en el centro de dicha circunferencia.
Únicamente se permite aplicar cualquiera de las siguientes operaciones:

Tomar dos vértices sobre la circunferencia tales que hay una cantidad impar de vértices en los arcos que definen, y cambiar el estado de los focos de estos dos vértices y el del foco del centro de la circunferencia.
Tomar tres vértices sobre la circunferencia que formen un triángulo equilátero, y cambiar el estado de los focos en estos tres vértices y el del foco del centro de la circunferencia.

Muestra que partiendo de cualquier configuración inicial de focos encendidos y apagados, siempre es posible aplicar un número finito de operaciones para llegar a la configuración en la que todos los focos están encendidos.

Problema 2 de la XXV OMM 14 noviembre 2011

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Sea ABC un triángulo acútangulo con sus vértices sobre la circunferencia C. Sea $l$ la recta tangente a C en el punto A. La circunferencia con centro B y radio BA intersecta la recta $l$ en D y a la recta AC en E. Muestra que la recta DE pasa por el ortocentro del triágulo ABC.
Nota: El ortocentro de un triángulo es el punto donde concurren las tres alturas del triángulo.

Problema 3 de la XXV OMM 14 noviembre 2011

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Sea $n\geq 3$ un entero positivo. Encuentra todas las soluciones $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ de números reales que satisfacen el siguiente sistema de $n$ ecuaciones:

$a_1^2+a_1-1=a_2$

$a_2^2+a_2-1=a_3$

$\vdots$

$a_{n-1}^2+a_{n-1}-1=a_n$

$a_n^2+a_n-1=a_1.$

Problema 7. 31 octubre 2011

Posted by ommyucatan in Combinatoria.
Tags: combinatoria
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Considere el siguiente tablero

0 1 2 3 … 9
9 0 1 2 … 8
8 9 0 1 … 7
$\vdots$
1 2 3 4 … 0

Si tomamos 10 números cualesquiera de tal forma que no haya dos en la misma fila, ni dos en la misma columna, demuestre que entre ellos siempre hay al menos dos números iguales.

Problema 6. 30 octubre 2011

Posted by ommyucatan in Teoría de Números.
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Sean $a,b$ dos enteros positivos con $a>b$ . Si sabemos que $(a-b,ab+1)=1$ y $(a+b,ab-1)=1$ . Probar que $(a-b)^2+(ab+1)^2$ no es un cuadrado perfecto.

Problema 5 21 octubre 2011

Posted by ommyucatan in Geometría.
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Sea ABC un triángulo acutángulo, H su ortocentro, D la intersección de HB con AC , E la intersección de $HC$ con $AB$ y sea F el segundo punto de intersección de la circunferencia circunscrita de $ADE$ y de la circunferencia circunscrita de $ABC$ , demuestra que la bisectriz del $\angle BFC$ y la bisectriz del $\angle BHC$ concurren en $BC$